上一讲我们学习了表示音符相对音高的十二平均律系统和表示绝对音高的五线谱系统，这一讲将对我们已经学到的这些知识做进一步展开，并对和声与和弦理论做简单的介绍。
上一讲我们已经知道了高音五线谱中，中音A的音高为440Hz，那么我们如何来确定其它音的音高呢？下面将会按照十二平均律的法则在五线谱中建立相对音高系统，请看图：
放大的没有任何升降标记的高音谱
上图是一个放大的最简单的高音谱，可以看到第一线上的音名是E，第一间的音名是F，其它以此类推。右侧的“全”和“半”表示相邻两个音符之间的音程是全音还是半音。至于为什么是这样规定的，我们会在下一讲《调式与调性理论》中进一步展开。确定了音符之间的相对音程，并确定了一个基准音——第二间的A为440Hz，我们就可以开始推算所有其它单音的频率了。
首先为了方便的表示众多音符，下文将使用科学音调记号法（见维基百科）来表示所有的音符，即两个字符表示一个音：XN。其中X为音名，依次是{C, D, E, F, G, A, B}，N为该音隶属的纯八度音程编号，从0开始由低向高编号，并规定第4个纯八度音程是由高音五线谱的下加一线开始。根据科学音调记号法，高音谱下加一线上的C记作C4，往高依次是D4，E4，F4，G4，A4，B4，C5，D5……所有的C音的记号在五线谱上标识如下图：
比A4低纯八度的音符是A3，其频率为A4频率的一半，即220Hz，比A4高纯八度的音符是A5，频率为A4频率的二倍，即880。A0到A7间所有A音的频率见下表：
基准音名 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 频率(Hz) 27.5 55 110 220 440 880 1760 3520要计算其它音符XN的频率，则应以XN下方的第一个A音AN'的频率
作为基准，然后算出XN与AN'之间的音数t，那么XN的频率为：
。例如，由于第三间的C音（即C5）与其下方第一个A音，即A4之间的音程是小三度，音数t=1.5，因此C5的频率为：
。当然，也可通过纯八度音程的倍率关系计算，比如C4的频率为C5的1/2，约为261.62557Hz。
五线谱中，音符的后面可以添加升降标记，表示该音符升高半音或降低半音。升号为#，降号为b。显然，有两个音是没必要升的：E升半音就是F，B升半音就是C，而这就是钢琴键盘布局形成的原因。如下图所示：
钢琴键盘中部分键位的音名（下面是白键音名，上面是黑键音名）
钢琴上的黑键比左边的白键高半音（也可以说是比右边的白键低半音），因此白键B和E的右边就没有黑键。此外，所有的降音都可以由另一些音的升音代替，比如Bb就是A#，Gb就是F#。那既然如此，为什么不用升号代替全部的降号呢？原因就是为了可读性，正如写代码时不能为了减少代码量就把所有的if语句都换成三目运算符。
如果一段谱子中的某个音符几乎都要升半音或降半音处理，那就可以在高音谱号的右侧，这个音符所在的一条线或一个间上标记升降号。例如：
肖邦《练习曲 Op.25》第3首选段（略有删改简化）
在上面的谱中，第三线上标记了一个降号b，表示这个谱子里的所有B音都需降半音，除非另外在个别音符上标记升降或还原记号。音符被升降半音后的频率可根据之前学过的相邻音符之间的频率倍数关系计算。升高半音后的频率为原频率的倍，降低半音后的频率为原频率的
倍。比如C5升高半音的频率即为
。
肖邦《C大调练习曲》选段
上图是一个钢琴谱，这下我们终于见到了高音谱号和低音谱号并存的样子了。标有高音谱号的上面一排是高音谱，标有低音谱号的下面一排是低音谱，它们分别对应钢琴健盘上不同的键区。低音谱的“线”和“间”所对应的音符与高音谱不同，如下图所示：
低音谱各音符及其音名
其实低音谱中的音名也没有那么难记，实际上它和高音谱是相互连接的，中间刚好只隔了一条加线。高音谱的下加一线就是低音谱的上加一线，而这条线上的音就是中央C，即C4。和高音谱号类似，低音谱号的圆心标记的是F3在谱中的位置，即第四线上。
低音谱中各音的频率计算与高音谱是相同的，只要搞清音程关系，从基准音推算即可。比如在前面的钢琴谱中可以看到低音谱的最左端有两个C（它们是用圆圈表示的），一个是第二间的C3；另一个是下加二线上的C2。C3和C2的频率分别为C4频率的1/4和1/8，而C4的频率在前面已经计算过了。
利用上面的知识，你已经可以计算任何一个五线谱中每个音的频率了，那么接下来我们介绍对一些特别的频率进行合成的问题——和声。
和声，是指由超过一个单音所组合而成的声音。你可能会发现，和声的定义与拍音的定义是非常相似的。的确如此，所有的拍音都是和声，但和声不一定会产生拍音。首先，人耳可以听到的声波频率范围大约为20Hz到20000Hz，如果和声产生的频率超过这个范围，通常就不能称之为拍音了。其次，不同的乐器发出的单音进行叠加也可以称为和声，这也不是拍音。最后，拍音要求所有单音同时发出，而和声则无此要求，只要一个音在另一个音结束之前发出，它们交叠的部分就形成了和声。
肖邦《C大调练习曲》的前两个小节，下载收听。这是由一架钢琴演奏的曲目，前两个小节的乐谱在本讲第一节中给出。一开始的那个低沉的重音就是C3和C2的和声。朋友们可以在在线钢琴上试着弹一下C3和C2这两个单音的和声（对应键盘上的1键和8键，可同时按下）。乐谱中这个和声从一开始延续到了第二个小节结束，在这期间，钢琴还奏出了一共31个音符，这每一个音符与持续的低音和声又形成了更复杂的和声。下面请收看《C大调练习曲》的完整版，请朋友们注意钢琴家的左手总是保持按下的状态，都是在利用声音的延续制造和声。
瓦伦蒂娜?乌拉索娃演奏，肖邦《C大调练习曲》
在西方古典音乐理论中，和声主要研究两个单音构成的和声，三个或以上单音构成的和声一般称为和弦，我们放在下一节讨论。在一个纯八度范围内，两个单音的和声一共有12种，即与12种音程相对应。在钢琴键盘上以中央C键，即C4为准，请试听一下C4分别与D4、E4、F4、G4、A4、B4以及C5键同时按下的和声效果。听过以后有没有发现某些和声比较悦耳，而某些则比较难听？比如C4和C5同时按下（纯八度音程）的和声就毫无违和感，就像只有一个音；而C4和D4同时按下（小二度音程）就非常刺耳难听。这究竟是为什么呢？
钢琴键盘与五线谱对照图
上一讲我们学到，相邻两个音之间的频率比为，我们将这个数记为p，那么各音程的频率比（即相距某个音程的低音比高音）可由其音数t按公式：算得。由于除纯八度外的所有音程的频率比均为无理数，因此他们的拍音的频率只能按他们频率的近似整数比来计算，详见第一讲第三节。计算近似整数比的数学过程是比较复杂的，这里篇幅有限，不做进一步的讨论。接下来我们分别换算一下12个音程的频率比。
按近似整数比的最小公倍数排序，可以得到如下和声序列：
<纯八度，纯五度，纯四度，大六度，大三度，小三度，小六度，小七度，三全音，大二度，大七度，小二度>
通过在钢琴上弹奏对比可知，越向左边的和声越“协和”，但也越空洞，就是好像只有一个音，不够饱满；越向右边的和声越“难听”，但也越饱满。人们根据这一特征，将和声的协和程度分为“极完全协和”、“完全协和”、“不完全协和”、“不协和”与“极不协和”五类，如下图所示：
和声理论已经发展为一门学科，称为和声学，内容是相当复杂的，这里只做简单的科普性介绍，感兴趣的同学可以阅读《和声学》。两个音叠加是和声，那么更多的音的叠加又是什么样的情况呢？接下来我们就对三个音或更多的音的和声——和弦进行研究。
和弦（念“xian”，不念“xuan”，通常发儿化音）原指弦线，在音乐理论里，是指组合在一起的两个或更多不同音高的音。在欧洲古典音乐及受其影响的音乐风格里，更多时候是指三个或以上的音高组合。和弦的组成音，可分开演奏，亦可同时演奏。分开演奏的，我们称为分解和弦。
和弦的结构类型很多，如果按照组成音的多寡来区分，和弦可以分为三和弦、七和弦及九和弦等。三和弦是由三个音组成，七和弦是由四个音组成，九和弦则由五个音组成。如果按照和弦组成音之间的音程结构来分类，又可分为大和弦、小和弦、增和弦和减和弦四种形态。
以任意一个音n1为基准，称为根音，向上三度得到n2，向上五度得到n3，这三个音的和弦称为三和弦。三和弦可以再分为大三和弦、小三和弦、增三和弦和减三和弦。这些三和弦的构成如下表所示：
名称 [n1,n2] [n1,n3] 大三和弦 大三度 纯五度 小三和弦 小三度 纯五度 增三和弦 大三度 增五度 减三和弦 小三度 减五度上表中[n1,n2]表示从n1到n2的音程，[n1,n3]表示从n1到n3的音程。注意增五度就是小六度，减五度就是三全音，这是在上一讲中提到过的异名同音现象。接下来我们就用钢琴的音阶来举一些三和弦的例子。
钢琴白键之间的音程
如果你已经完全理解了第一节的内容，很容易就可以推算出上图所示的对应关系。C和E两键之间共有两个全音，因此是大三度，C和G是纯五度，那么C、E和G三个白键就构成了大三和弦，请在在线钢琴上试弹（对应键盘上的T、U和O）。C和Eb（E左边的黑键）是小三度，那么C、Eb和G三个键构成了小三和弦（在线钢琴的黑键可以用鼠标点）。同理可知：C、E和G#（G右边的黑键）构成增三和弦，C、Eb和和Gb（G左边的黑键）构成减三和弦。
需要注意的是，如果换一个音作为起始，那么和弦对应的键位就会发生明显的变化，且发出的声音色彩也会完全不同。以A为根音的大三和弦是A、C#和E，小三和弦是A、C和E，增三和弦是A、C#和E#，减三和弦是A、C和Eb。12种大三和弦对应的键位如下图所示，可在在线钢琴上试弹，要按从左到右，从上到下的顺序依次试弹每个大三和弦，每个三和弦的三个音以12321的顺序按下。
所有大三和弦的钢琴键位
用电脑键盘来按键是比较方便的，如果您找不着键位，下面给出了试弹的按键序列。注意大写字母要同时按下shift键和字母键，这就是黑键的按法，空格处稍做停顿。
tuout TiOiT yIpIy YoPoY uOaOu ipspi IPSPI oadao OsDsO pSfSp PdgdP aDGDa
将每个大三和弦的n2音降半音，可得到一共12个小三和弦，它们的按键序列为：
tYoYt TUOUT yipiy YIpIY uoaou iOsOi IpSpI oPdPo OADAO psfsp PSgSP adGda
通过比对我们可以听出，小三和弦的“协和”程度不如大三和弦，这一原因请朋友们用之前学习的和声理论进行分析。增三和弦和减三和弦的情况与之类似，朋友们可以自行推算所有增三和弦与减三和弦的音名。
七和弦比三和弦多加一个音n4，它于n1的音程为七度。七和弦又分为：大小七和弦、大七和弦、小七和弦、小大七和弦、增七和弦、增七和弦和半减七和弦一共7种，每一种七和弦的音的配置参见维基百科，此处不再赘述。
这一讲的内容是所有乐理中最复杂，也最困难的。但只要过了这一关，后面的内容就会轻松很多了。我们首先介绍了如何在五线谱中标记任意的音高，并计算它们的频率，然后研究了和声理论，包括协和的与不协和的和声，最后在和声理论的基础上发展了和弦理论。
上一讲的内容放出来以后，阅读量比第一讲少了很多，还收到了一个“反对”。也不知道这位反对的朋友是出于什么原因，是觉得没用？还是觉得太难？如果朋友们对这系列课程没有兴趣，我也就没必要继续下去了。希望收到朋友们的反馈意见。
这一讲就到这里，下一讲（如果有的话）介绍调式与调性理论，也是乐理中最重要的内容。最后给大家放一点福利，教你如何在2分钟内学会弹钢琴。玩笑归玩笑，也请各位结合本讲的内容，思考这里面的原理。
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